矩阵（Matrix）是由 m×n 个数 \(a_{ij}\) 排成的 m 行（row）n 列（column）的数表，通常用大写字母 A、B 等表示。其中 \(a_{ij}\) 表示位于第 i 行、第 j 列的元素。
A = [aij]m×n =
在计算机程序中，矩阵通常使用二维数组（或类似结构，如 C++ 中的 `vector
矩阵加法：只有当两个矩阵 A 和 B 的行数和列数都相同时（称为同型矩阵），它们才能相加。和矩阵 C = A + B 的每个元素等于 A 和 B 对应元素的和。
(A + B)ij = Aij + Bij
矩阵数乘：用一个标量（普通的数）k 乘以矩阵 A，结果是 A 中的每个元素都乘以 k。
(k · A)ij = k · Aij
矩阵的转置（Transpose）操作是将原矩阵 A 的行与列互换得到的新矩阵，记作 AT 或 A'。如果 A 是一个 m×n 矩阵，则其转置 AT 是一个 n×m 矩阵。
(AT)ij = Aji
简单来说，原矩阵的第 i 行变成了转置矩阵的第 i 列，原矩阵的第 j 列变成了转置矩阵的第 j 行。
遍历矩阵是指按照特定的顺序访问（读取或处理）矩阵中的每一个元素。最常见的两种遍历方式是行优先遍历和列优先遍历。
行优先遍历（Row-Major Order）：这是最自然的方式，如同阅读文本一样。先访问完第一行的所有元素（从左到右），然后访问第二行的所有元素，以此类推，直到最后一行。
列优先遍历（Column-Major Order）：先访问完第一列的所有元素（从上到下），然后访问第二列的所有元素，以此类推，直到最后一列。某些语言（如Fortran, MATLAB, R）默认按列存储数据，这种遍历方式在这些环境中更高效。
在矩阵中查找一个特定值的元素是常见操作。根据矩阵的特性，查找策略也不同。
暴力查找（Brute-Force Search）：适用于任何普通矩阵。方法很简单：逐个检查矩阵中的每个元素，看它是否等于目标值。如果找到了，返回成功（通常还带上位置信息）；如果遍历完所有元素都没找到，返回失败。
时间复杂度：O(m × n)
优化查找（适用于特定有序矩阵）：如果一个矩阵满足特殊条件：每一行从左到右递增，每一列从上到下递增，那么我们可以使用一种更高效的查找方法。
思路：从矩阵的 右上角（或左下角）元素开始比较。设当前元素为 \(A_{ij}\)：
重复此过程，直到找到目标值或超出矩阵边界（查找失败）。
时间复杂度：O(m + n)
对于非常大的矩阵，直接按行或按列遍历可能导致缓存未命中（Cache Miss）增多，影响性能。将大矩阵逻辑上划分为若干个小的子矩阵（块），优先处理完一个块内的所有数据，可以更好地利用 CPU 缓存的局部性原理，提高计算密集型操作（如矩阵乘法）的速度。
二维前缀和：预计算一个"和矩阵" S，其中 S[i][j] 表示原矩阵左上角到 (i, j) 位置构成的子矩阵的元素之和。这样，任意子矩阵 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的元素和可以在 O(1) 时间内通过 S[x2][y2] - S[x1-1][y2] - S[x2][y1-1] + S[x1-1][y1-1] 计算得出。
二维差分数组：用于快速处理对矩阵某个子区域进行统一增减值的操作。通过在一个"差分矩阵" D 的四个关键点进行修改（O(1) 操作），可以实现对原矩阵一个矩形区域内所有元素加 k 的效果。查询原矩阵某个元素的值时，需要计算其对应差分矩阵的前缀和（O(n*m) 恢复）。
当矩阵中绝大多数元素为零时，称为稀疏矩阵。使用标准的二维数组存储会浪费大量空间。可以采用压缩存储方法，只记录非零元素的值及其行列索引。常见的格式有：
基于这些压缩格式，矩阵运算（如乘法、查找）也需要实现特定算法以保持效率。