排列与组合 动态学习

通过动态演示、经典案例和练习题，深入理解排列组合的奥秘

排列 (Permutation)

排列是从n个不同元素中取出k个元素，并考虑其排列顺序的选取方式数量。

P(n, k) = n · (n-1) · ... · (n-k+1) = n!(n-k)!

关键： 顺序很重要！ (a, b) 与 (b, a) 是不同的排列。

例如：从 {A, B, C} 中选 2 个排列：AB, AC, BA, BC, CA, CB (共 P(3,2)=6 种)。

组合 (Combination)

组合是从n个不同元素中取出k个元素，不考虑其排列顺序的选取方式数量 (即子集数量)。

C(n, k) = P(n,k)k! = n!k!(n-k)!

关键： 顺序不重要！ {a, b} 与 {b, a} 是同一个组合。

例如：从 {A, B, C} 中选 2 个组合：{A, B}, {A, C}, {B, C} (共 C(3,2)=3 种)。

基本思想动态演示

排列 (Permutation) 演示

    输入 n 和 k，点击按钮开始演示。

    组合 (Combination) 演示

      输入 n 和 k，点击按钮开始演示。

      经典案例分析

      案例 1：排队上台 (基础排列)

      问题描述

      有 5 位同学（编号 1 到 5）参加演讲比赛，需要确定前 3 名上台领奖的顺序。问：共有多少种不同的领奖顺序？

      待选同学:

      分析：因为领奖顺序（第一名、第二名、第三名）是重要的，所以这是一个 排列问题。

      思路分析

      我们需要从 n=5 位同学中，选出 k=3 位，并考虑他们的顺序。

      • 确定第 1 名：有 5 种选择。
      • 确定第 2 名：剩下 4 人中选 1 人，有 4 种选择。
      • 确定第 3 名：剩下 3 人中选 1 人，有 3 种选择。

      根据乘法原理，总的顺序数 = 5 × 4 × 3 = 60 种。

      这符合排列的定义：P(n, k)。

      动态演示

      下面模拟选择过程，并展示一种可能的领奖顺序（点击“下一个”查看）：

      领奖台:

      🥇 ?
      🥈 ?
      🥉 ?
      (等待演示)

      公式应用

      使用排列公式 P(n, k) = n! / (n-k)!

      这里 n=5, k=3:

      P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60

      结论：共有 60 种不同的领奖顺序。

      案例 2：组建兴趣小组 (基础组合)

      问题描述

      从 6 名志愿者（编号 1 到 6）中选出 3 人组成一个环保宣传小组。问：有多少种不同的组队方式？

      候选志愿者:

      分析：小组内成员没有顺序之分（选出 {1, 2, 3} 和 {3, 1, 2} 是同一种组合），所以这是一个 组合问题。

      思路分析

      我们需要从 n=6 名志愿者中，选出 k=3 人，不考虑顺序。

      如果考虑顺序，是 P(6, 3) = 6 × 5 × 4 = 120 种。

      但选出的 3 个人（例如 {A, B, C}）内部有 3! = 3 × 2 × 1 = 6 种排列（ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA），在组合中只算 1 种。

      因此，组合数 = 排列数 / k! = P(6, 3) / 3! = 120 / 6 = 20 种。

      这符合组合的定义：C(n, k)。

      动态演示

      下面模拟选择过程，并展示一种可能的小组构成（点击“下一个”查看）：

      当前选中的小组:

      (等待演示)

      候选志愿者 (点击“下一个”高亮组合):

      公式应用

      使用组合公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

      这里 n=6, k=3:

      C(6, 3) = \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20

      也可以这样算： C(6, 3) = \frac{P(6, 3)}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20

      结论：共有 20 种不同的组队方式。

      案例 3：圆桌会议 (环形排列)

      问题描述

      有 5 位代表（A, B, C, D, E）围坐在一张圆桌旁开会。问：有多少种不同的坐法？（旋转后视为同一种坐法）

      圆桌:

      分析：与直线排列不同，圆桌排列需要考虑旋转不变性。这是一个 环形排列 问题。

      思路分析

      如果按直线排列，5 个人有 P(5, 5) = 5! = 120 种排法。

      但在圆桌上，像 ABCDE、BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD 这 5 种直线排列，在旋转后是完全一样的圆桌坐法。

      也就是说，每一种圆桌坐法对应着 n 种直线排法。

      因此，圆桌排列数 = 直线排列数 / n = n! / n = (n-1)!

      另一种思路（固定法）：

      1. 先让一个人（例如 A）坐下，固定其位置（因为旋转不变，A 坐哪里都一样，相当于参照点）。
      2. 剩下 n-1 个人（B, C, D, E）在 A 的相对位置上进行直线排列。
      3. 这 n-1 个人的排列数是 (n-1)!。

      对于 n=5 的情况，环形排列数 = (5-1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 种。

      动态演示

      固定代表 A 的位置，演示剩下 4 位代表的一种排列方式（点击“下一个”查看）：

      (等待演示)

      公式应用

      n 个不同元素进行环形排列，排列数为：

      Q(n) = (n-1)!

      这里 n=5:

      Q(5) = (5-1)! = 4! = 24

      结论：共有 24 种不同的圆桌坐法。

      注意：如果考虑翻转对称（如项链问题），公式会更复杂，这里只考虑旋转对称。

      案例 4：糖果分配 (可重复组合/隔板法)

      问题描述

      将 7 颗相同的糖果分给 3 个小朋友，要求每个小朋友至少分到 1 颗糖果。问：有多少种不同的分法？

      待分配的糖果 (相同):

      小朋友 (不同):

      小明
      小红
      小刚

      分析：糖果相同，但分给不同的小朋友，结果是不同的。这是一个 组合的应用，常使用隔板法解决。

      思路分析 (隔板法)

      想象将 7 颗糖果排成一排：

      🍬 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬 🍬

      这 7 颗糖果之间有 7 - 1 = 6 个空隙。

      🍬 | 🍬 | 🍬 | 🍬 | 🍬 | 🍬 | 🍬

      要把糖果分成 3 份（给 3 个小朋友），我们需要在这 6 个空隙中插入 3 - 1 = 2 个隔板。

      例如：🍬 🍬 | 🍬 🍬 🍬 | 🍬 🍬 表示第一份 2 颗，第二份 3 颗，第三份 2 颗。

      问题转化为：从 6 个空隙中选择 2 个位置放置隔板，有多少种选法？

      这是一个组合问题：从 6 个位置中选 2 个，不考虑顺序。

      选法数量 = C(6, 2)。

      重要前提： 隔板法（基本型）要求每份至少有 1 个。如果允许有空份（小朋友可以不得糖），需要先进行转换或使用另一种隔板法模型。

      动态演示 (隔板法)

      在 7 颗糖果间的 6 个空隙中选择 2 个插入隔板（'|'）。点击“下一个”查看不同插法：

      公式应用与计算

      问题是：从 6 个空隙中选取 2 个位置放隔板。

      使用组合公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

      这里 n=6 (空隙数), k=2 (隔板数):

      C(6, 2) = \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

      结论：共有 15 种不同的分法（保证每人至少 1 颗）。

      扩展思考： 如果允许有小朋友不得糖果（即允许空盒），如何计算？
      这相当于求解 x₁ + x₂ + x₃ = 7 的非负整数解个数。
      可以用“添项隔板法”或“星号与隔板”模型：想象 7 个星（糖）和 3-1=2 个隔板排列，总共 7+2=9 个位置，选 2 个位置放隔板，即 C(9, 2) = 36 种。

      练习题

      选择题 1
      从 5 本不同的书中选出 3 本送给 3 位朋友，每人一本，共有多少种不同的送法？
      正确答案：
      A
      解析：
      这是一个排列问题，因为送给不同的朋友（顺序/分配重要）。从5本书中选3本并排列送出。
      方法数 = P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60。
      选择题 2
      从 7 名男生和 5 名女生中选出 3 名代表参加会议，要求必须包含至少一名女生，有多少种选法？
      正确答案：
      B
      解析：
      使用排除法。总共有 7+5=12 人，选 3 人的总组合数是 C(12, 3)。
      不符合要求的情况是“选出的 3 人全是男生”，组合数是 C(7, 3)。
      至少一名女生的选法 = 总选法 - 全是男生的选法。
      C(12, 3) = (12 × 11 × 10) / (3 × 2 × 1) = 220。
      C(7, 3) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 35。
      结果 = 220 - 35 = 185。
      选择题 3
      用数字 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的三位数，有多少个？
      正确答案：
      C
      解析：
      组成三位数，数字的顺序很重要，且不能重复，是排列问题。
      从 5 个不同的数字中选 3 个进行排列。
      方法数 = P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60。
      选择题 4
      将 4 个不同的球放入 3 个不同的盒子中，允许盒子为空，共有多少种不同的放法？
      正确答案：
      D
      解析：
      每个球都有独立的放置选择。球是不同的，盒子也是不同的。
      对于第 1 个球，有 3 种盒子选择。
      对于第 2 个球，也有 3 种盒子选择。
      ...
      对于第 4 个球，仍有 3 种盒子选择。
      根据乘法原理，总方法数 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴ = 81。
      选择题 5
      5 个人站成一排，其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？
      正确答案：
      A
      解析：
      使用捆绑法。将甲、乙两人视为一个整体 "X"。现在问题变成对 X 和另外 3 个人（共 4 个元素）进行全排列。
      排列数 = P(4, 4) = 4! = 24。
      但是，甲乙两人本身可以互换位置（甲在左或乙在左），有 P(2, 2) = 2! = 2 种内部排列。
      根据乘法原理，总排法 = (4 个元素的排列) × (甲乙内部排列) = 24 × 2 = 48。
      选择题 6
      单词 "SUCCESS" 中的字母进行全排列，有多少种不同的排列方式？
      正确答案：
      B
      解析：
      这是含有重复元素的全排列问题。"SUCCESS" 共有 7 个字母。
      其中：S 重复 3 次 (n₁=3)，U 重复 1 次 (n₂=1)，C 重复 2 次 (n₃=2)，E 重复 1 次 (n₄=1)。
      总排列数 = n! / (n₁! n₂! n₃! n₄!) = 7! / (3! 1! 2! 1!)
      = 5040 / (6 × 1 × 2 × 1) = 5040 / 12 = 420。
      选择题 7
      从 1 到 9 的九个数字中，选出 3 个不同的数字组成一个三位数，要求这个三位数是奇数，有多少种选法？
      正确答案：
      C
      解析：
      使用分类或分步法。关键在于个位必须是奇数。
      奇数数字有：1, 3, 5, 7, 9 (共 5 个)。
      1. 先确定个位：有 5 种选择（从 5 个奇数中选 1 个）。
      2. 再确定百位：从剩下的 8 个数字中选 1 个（不能是 0，这里没有 0，也不能是已选的个位数）。有 8 种选择。
      3. 最后确定十位：从剩下的 7 个数字中选 1 个。有 7 种选择。
      总方法数 = (个位选择) × (百位选择) × (十位选择) = 5 × 8 × 7 = 280。
      选择题 8
      有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 3 人组成一个学习小组，且小组中必须既有男生又有女生，有多少种不同的选法？
      正确答案：
      A
      解析：
      方法一：分类讨论。
      情况1: 2男1女。选法 = C(5, 2) × C(3, 1) = 10 × 3 = 30。
      情况2: 1男2女。选法 = C(5, 1) × C(3, 2) = 5 × 3 = 15。
      总选法 = 30 + 15 = 45。
      方法二：排除法。
      总人数 5+3=8。选 3 人的总选法 = C(8, 3) = (8×7×6)/(3×2×1) = 56。
      不符合要求的情况：全男 C(5, 3)=10；全女 C(3, 3)=1。
      符合要求的选法 = 总选法 - 全男选法 - 全女选法 = 56 - 10 - 1 = 45。
      选择题 9
      4 个人进行乒乓球单循环赛（每两人之间都要赛一场），总共需要进行多少场比赛？
      正确答案：
      B
      解析：
      每场比赛需要在 4 个人中选出 2 个人进行。选手的顺序不影响比赛（A vs B 和 B vs A 是同一场比赛）。
      这是一个组合问题。
      需要进行的比赛场数 = 从 4 人中选 2 人的组合数 = C(4, 2)。
      C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)! ) = (4 × 3) / (2 × 1) = 6。
      选择题 10
      将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，有多少种不同的投法？
      正确答案：
      D
      解析：
      每封信都有独立的投递选择。信是不同的，邮筒也是不同的。
      对于第 1 封信，有 4 个邮筒可以选择。
      对于第 2 封信，也有 4 个邮筒可以选择。
      对于第 3 封信，仍有 4 个邮筒可以选择。
      根据乘法原理，总方法数 = 4 × 4 × 4 = 4³ = 64。
      填空题 1
      计算 P(6, 6) = ?
      正确答案：
      720
      解析：
      P(n, n) 表示从 n 个不同元素中取出 n 个进行全排列。
      P(6, 6) = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720。
      填空题 2
      计算 C(7, 3) = ?
      正确答案：
      35
      解析：
      C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
      C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!)
      = (7 × 6 × 5 × 4!) / ((3 × 2 × 1) × 4!)
      = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 7 × 5 = 35。
      填空题 3
      5 种不同的颜色给地图上的 3 个不同区域涂色，要求相邻区域颜色不同，且三个区域颜色都不同，有多少种涂色方法？
      正确答案：
      60
      解析：
      要求三个区域颜色都不同，且相邻区域颜色不同。
      1. 区域1：有 5 种颜色可选。
      2. 区域2：必须与区域1不同，有 4 种颜色可选。
      3. 区域3：必须与区域2不同，且必须与区域1不同，有 3 种颜色可选。
      总方法数 = 5 × 4 × 3 = 60。这相当于从5种颜色中选3种进行排列 P(5, 3)。
      填空题 4
      4 名男生和 2 名女生站成一排，要求 2 名女生必须排在两端，有多少种不同的排法？
      正确答案：
      48
      解析：
      分步进行：
      1. 先排两端的女生：从 2 名女生中选 2 名排在两端，有 P(2, 2) = 2! = 2 种排法。
      2. 再排中间的 4 名男生：对 4 名男生进行全排列，有 P(4, 4) = 4! = 24 种排法。
      根据乘法原理，总排法 = (排女生) × (排男生) = 2 × 24 = 48。
      填空题 5
      平面上有 9 个点，其中任意三点不共线，可以确定多少条不同的直线？
      正确答案：
      36
      解析：
      确定一条直线需要两个点。从 9 个点中选出 2 个点，顺序不重要（点A和点B确定的直线与点B和点A确定的是同一条）。
      这是一个组合问题。
      直线数量 = 从 9 个点中选 2 个的组合数 = C(9, 2)。
      C(9, 2) = 9! / (2! * (9-2)!) = 9! / (2! * 7!) = (9 × 8) / (2 × 1) = 36。
      填空题 6
      把 5 件相同的礼物分给 3 个小朋友，允许有人得不到，共有多少种分法？
      正确答案：
      21
      解析：
      这是“相同物品分给不同对象，允许为空”的问题，使用隔板法（允许为空形式）。
      将 n=5 件相同礼物分给 k=3 个小朋友。
      想象 5 个礼物和 k-1 = 2 个隔板排成一排。
      总共有 n + k - 1 = 5 + 3 - 1 = 7 个位置。
      从这 7 个位置中选择 k-1 = 2 个位置放隔板。
      方法数 = C(n+k-1, k-1) = C(7, 2) = (7 × 6) / (2 × 1) = 21。
      填空题 7
      数字 1, 1, 2, 3, 4 可以组成多少个不同的五位数？
      正确答案：
      60
      解析：
      这是含有重复元素的全排列问题。总共有 5 个数字。
      其中数字 1 重复了 2 次 (n₁=2)。其他数字 2, 3, 4 各出现 1 次 (n₂, n₃, n₄ = 1)。
      总排列数 = n! / (n₁! n₂! n₃! n₄!) = 5! / (2! 1! 1! 1!)
      = 120 / (2 × 1 × 1 × 1) = 120 / 2 = 60。
      填空题 8
      从 8 人中选出 4 人参加一个座谈会，有多少种不同的选法？
      正确答案：
      70
      解析：
      从 8 人中选 4 人，顺序不重要，是组合问题。
      选法数 = C(8, 4) = 8! / (4! * (8-4)!) = 8! / (4! * 4!)
      = (8 × 7 × 6 × 5 × 4!) / ((4 × 3 × 2 × 1) × 4!)
      = (8 × 7 × 6 × 5) / (4 × 3 × 2 × 1) = 70。
      填空题 9
      计算 P(7, 3) = ?
      正确答案：
      210
      解析：
      P(n, k) = n! / (n-k)!
      P(7, 3) = 7! / (7-3)! = 7! / 4!
      = 7 × 6 × 5 = 210。
      填空题 10
      5 个人排成一圈（围成一圈），有多少种不同的排法？
      正确答案：
      24
      解析：
      这是环形排列问题。n 个不同元素排成一圈的排列数是 (n-1)!。
      对于 n=5 个人，排法数 = (5-1)! = 4!
      = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。